$$ \begin{gather*} \frac{d^{2} \psi }{dx^{2}} +\frac{2m}{\hbar ^{2}} E\psi =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( x< 0,x >a)\\ \\ \frac{d^{2} \psi }{dx^{2}} +\frac{2m}{\hbar ^{2}}( E-U_{0}) \psi =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 0< x< a) . \end{gather*} $$

1. 首先$\displaystyle E >U_{0}$的情况，令

$$ \begin{equation*} k_{1} =\left(\frac{2mE}{\hbar ^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} ,k_{2} =\left[\frac{2m( E-U_{0})}{\hbar ^{2}}\right]^{\frac{1}{2}} , \end{equation*} $$

然后公式两个公式就可以改写成

$$ \begin{gather*} \frac{d^{2} \psi }{dx^{2}} +k^{2}_{1} \psi =0\ \ \ \ ( x< 0,\ x >a)\\ \frac{d^{2} \psi }{dx^{2}} +k^{2}_{2} \psi =0\ \ \ \ ( 0< x< a) \end{gather*} $$

$\displaystyle k_{1}$, $\displaystyle k_{2}$是大于等于零的实数，求解上述微分方程得出

1. 当$\displaystyle x< 0$ 的区域内，有波函数

$$ \begin{equation*} \psi _{1} =Ae^{ik_{1} x} +A^{'} e^{-ik_{1} x} \end{equation*} $$

1. 当$\displaystyle 0< x< a$区域内，方程的解是

$$ \begin{equation*} \psi _{2} =Be^{ik_{2} x} +B^{'} e^{-ik_{2} x} . \end{equation*} $$

1. 当$\displaystyle x >a区域内，方程的解$为

$$ \begin{equation*} \psi _{3} =Ce^{ik_{1} x} +C^{'} e^{-ik_{1} x} . \end{equation*} $$

我们用波的性质来讨论势垒贯穿的波函数解，波函数可以看作是定态波函数再乘以一个含时因子$\displaystyle e^{-\frac{i}{\hbar } Et}$。于是上述三个解可以看作向左和向右传播的波。由于在$\displaystyle x >a$区域内没有从右向左传播的粒子，所以

$$ \begin{equation*} C^{'} =0 \end{equation*} $$

二、由于波函数需要在$\displaystyle x=0,x=a$处保持连续性，所以有$\displaystyle ( \psi _{1})_{x=0} =( \psi _{2})_{x=0}$（条件1）， 同时，我们有波函数的一阶导数在$\displaystyle x=0,x=a$处保持连续性（条件2）。由此条件我们得出两个关系式。

$$ \begin{gather*} 由( \psi _{1})_{x=0} =( \psi _{2})_{x=0} ,\ 得\\ A+A'\ =\ B+B' \end{gather*} $$

$$ \begin{gather*} 由\left(\frac{d\psi _{1}}{dx}\right)_{x=0} =\left(\frac{d\psi _{2}}{dx}\right)_{x=0} ,得\\ k_{1} A-K_{1} A^{'} =k_{2} B-K_{2} B^{'} ; \end{gather*} $$

$$ \begin{gather*} 由( \psi _{2})_{x=a} =( \psi _{3})_{x=a} ,\ 得\\ Be^{ik_{2} a} +B'e^{-ik_{2} a} =Ce^{ik_{1} a} \end{gather*} $$

$$ \begin{gather*} 由\left(\frac{d\psi _{2}}{dx}\right)_{x=a} =\left(\frac{d\psi _{3}}{dx}\right)_{x=a} ,得\\ k_{2} Be^{ik_{2} a} -k_{2} B'e^{ik_{2} a} =k_{1} Ce^{ik_{1} a} \end{gather*} $$

解上述方程得，

$$ \begin{gather*} C=\frac{4k_{1} k_{2} e^{-ik_{1} a}}{( k_{1} +k_{2})^{2} e^{ik_{2} a} -( k_{1} -k_{2})^{2} e^{ik_{2} a}} A,\ \\ A'=\frac{2i\left( k^{2}_{1} -k^{2}_{2}\right) sin\ k_{2} a}{( k_{1} -k_{2})^{2} e^{ik_{2} a} -( k_{1} +k_{2})^{2} e^{-ik_{2} a}} A \end{gather*} $$

我们讨论$\displaystyle E< U_{0}$得情况，此时$\displaystyle k_{2}$是虚数, 令$\displaystyle k_{2} =ik_{3}$，

$$ \begin{equation*} k_{3} =\left[\frac{2m( U_{0} -E)}{\hbar ^{2}}\right]^{\frac{1}{2}} . \end{equation*} $$

把$\displaystyle k_{2}$换为$\displaystyle ik_{3}$，有

$$ \begin{gather*} C=\frac{2ik_{1} k_{2} e^{-i} k_{1} a}{\left( k^{2}_{1} -k^{2}_{3}\right) sh\ k_{3} a\ +2ik_{1} k_{3} ch\ k_{3} a} A.\\ sh\ x,\ ch\ x\ 是双曲函数\\ D=\frac{4k^{2}_{1} k^{2}_{3}}{\left( k^{2}_{1} +k^{2}_{3}\right)^{2} sh^{2} k_{3} a+4k^{2}_{1} k^{2}_{3}} \end{gather*} $$

如果能量E很小，则$\displaystyle k_{3} \gg 1$, 导致$\displaystyle e^{k_{3} a} \gg e^{-k_{3} a} ,\ sh^{2} k_{3} a$ 近似等于$\displaystyle \frac{1}{4} e^{2k_{3} a} ,\ e^{2k_{3} a} \gg 4$, 有

$$ \begin{equation*} D=D_{0} e^{-2k_{3} a} =D_{0} e^{-\frac{2}{\hbar }\sqrt{2m( U_{0} -E) a}} \end{equation*} $$

当$\displaystyle a$越大，投射系数越小，所以宏观状态下，越难以观察到粒子隧道效应。