$$ \begin{equation} E_{\nu } d\nu \ =\ \frac{C_{1} \nu ^{3}}{exp\left(\frac{C_{2} \nu }{T}\right) -1} d\nu \tag{普朗克公式1} \end{equation} $$

解释普朗克公式，开始改造

$$ \begin{equation} E_{\nu } d\nu =\frac{C_{2} k\nu }{exp\left(\frac{C_{2} k\nu }{kT}\right) -1}\frac{C_{1} \nu ^{2}}{kC_{2}} d\nu \tag{2} \end{equation} $$

根据维恩公式

$$ \begin{equation*} \nu ^{2} d\nu \ \ \ 正比于单位容积内的允许态个数 \end{equation*} $$

热力学统计理论中

$$ \begin{equation} \overline{E} \ =\frac{\sum \epsilon _{n} e^{\epsilon _{n} \beta }}{\sum e^{\epsilon _{n} \beta }} =-\frac{d}{d\beta } ln\left( e^{-\beta } \epsilon _{n}\right) \tag{3} \end{equation} $$

(2) 中

$$ \begin{equation*} \frac{C_{2} k\nu }{exp\left(\frac{C_{2} k\nu }{kT}\right) -1} =-\frac{d}{d\beta } ln\left( 1-exp( -\beta kC_{2} \nu )\right)^{-1} \end{equation*} $$

其中$\displaystyle \beta =1/kT$

下式等比数列展开

$$ \begin{equation*} \frac{1}{1-e^{-\beta kC_{2} \nu }} =1+e^{-\beta kC_{2} \nu } +\left( e^{-\beta kC_{2} \nu }\right)^{2} +...\ =\ \sum e^{-\beta \epsilon _{n}} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} 定义普朗克常数\ kC_{2} =h \end{equation*} $$